Filippo Santambrogio (Université Paris Sud / Laboratoire de Mathématiques d’Orsay)

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Mouvement de foules et dynamique de populations sous contraintes de densité

vendredi 19 janvier 2018, 11h00 - 12h00

Salle du conseil, espace Turing


De nombreux modèles ont été proposé dans la littérature pour étudier par des méthodes de mécanique des fluides le mouvement des foules (travaux d’Helbing, Hughes…), et, plus en général, des populations d’individus soumises à des effets de congestion (trop d’individus ne peuvent pas se concentrer au même endroit, et leur vitesse est influencée par la densité qu’ils rencontrent). Cet exposé partira d’un modèle granulaire de « hard congestion » très simple, étudié d’abord par Maury et Venel: leur approche décrit la population d’individus par une famille de grains rigides qui ne peuvent pas se superposer, chacun ayant à chaque instant une vitesse spontanée (celle qu’il aurait en l’absence des autres). Le point clé est supposer que la vitesse qu’ils vont effectivement suivre sera la projection globale de la vitesse spontanée sur le cone des vitesses qui préservent instantanément la contrainte de non-superposition. Ensuite, l’attention sera tourné vers le plus simple équivalent continu de ce modèle, où la population est décrite par une densité qui évolue selon l’équation de continuité $\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho v)=0$, et la vitesse $v$ réalisée est la projection $L^2$ sur l’ensemble des vitesses qui préservent une contrainte d’incompressibilité $\rho\leq 1$. Ce modèle, dans le cas où la vitesse souhaitée a une structure gradient, a fait l’objet d’une série de travaux en collaboration avec B. Maury et son équipe; en utilisant les techniques des flots de gradient dans les espaces de Wasserstein et le transport optimal (selon l’approche de Jordan-Kinderlehrer-Otto et Ambrosio-Gigli-Savaré). De nombreux autres travaux ont suivi, soit pour appliquer des principes de congestion à d’autres phénomènes (dans l’évolution des bactéries, par exemple), soit pour enrichir le modèle (par des effets de diffusion, par exemple), soit pour répondre à des questions mathématiques que ces EDP soulèvent (l’unicité a été étudiée par Di Marino et Mészáros en lien avec les équations de Hele-Shaw)… L’exposé présentera les principaux résultats et enjeux, du point de vue théorique et numérique, dans ce sujet qui a fait l’objet d’une forte activité de recherche dans les dernières années.