* Franz Chouly, Laboratoire mathématique de Besançon - MAP5-UMR 8145

Franz Chouly, Laboratoire mathématique de Besançon

Carte non disponible

Sur une méthode de Nitsche pour le contact et le frottement.

vendredi 1 décembre 2017, 11h00 - 12h00

Salle du conseil, espace Turing


Nous présenterons une extension de la méthode de Nitsche pour le traitement des conditions de contact et de frottement de Tresca en élasticité linéaire. L’idée est de formuler ces conditions de manière faible, via une pénalisation, mais qui reste consistante avec le problème de départ (contrairement à la méthode de pénalité « classique »). Par rapport aux techniques répandues basées sur des multiplicateurs de Lagrange, aucune inconnue supplémentaire n’est introduite, et il n’y a donc pas non plus de condition de compatibilité de type inf-sup discrète entre inconnues primales et duales. Cette méthode de Nitsche avait été introduite originellement dans les années 1970 pour traiter des conditions aux limites de Dirichlet non-homogènes.
Nous montrerons que, moyennant les bonnes conditions sur les paramètres de la méthode, le problème de contact discrétisé avec Nitsche admet une unique solution. Nous établirons ensuite la convergence optimale de la méthode, en 2D et 3D, et pour des éléments finis linéaires et quadratiques. Contrairement aux autres approches de discrétisation, aucune hypothèse technique supplémentaire sur le comportement de la solution dans la zone de contact n’est nécessaire ici pour établir cette convergence optimale.
Nous illustrerons ces propriétés par des expériences numériques en 2D et 3D sous GETFEM++. Nous montrerons par ailleurs le comportement des méthodes de Newton généralisées lorsqu’elles sont appliquées à la résolution de ces problèmes. En particulier, nous montrerons que certaines variantes « non-symétriques » de la méthode s’avèrent plus robustes et/ou attractives du point de vue numérique. Finalement, nous présenterons quelques extensions plus récentes de la méthode (contact dynamique, contact en grandes transformations, frottement de Coulomb …).

Ce travail a été réalisé principalement avec Patrick Hild (Institut de Mathématiques de Toulouse) et Yves Renard (Institut Camille Jordan).