* Arthur Leclaire (MAP5) - MAP5-UMR 8145

Arthur Leclaire (MAP5)

Coupling from the past

mardi 7 mai 2013, 13h45 - 14h45

Salle de réunion, espace Turing


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Si p est une mesure de probabilité sur un ensemble fini E, simuler une variable aléatoire de loi p par une méthode dite MCMC ({Monte-Carlo Markov Chain}) consiste à trouver une matrice de transition Q irréductible apériodique qui admet p pour mesure invariante; la théorie assure alors que, pour une initialisation quelconque X0, une chaîne de Markov (Xk) de matrice de transition Q convergera en loi vers la loi invariante p. En s’arr »tant après un grand nombre d’itérations N, on obtient donc que XN suit approximativement la loi p, ce qui fournit un algorithme de simulation approchée suivant la loi p.

L’objectif de la technique {Coupling from the past} (CFTP) est d’obtenir un algorithme de simulation exact suivant la loi p. Pour cela, au lieu de faire tourner une chaîne de Markov dans le futur, on décide de simuler plusieurs chaînes de Markov en remontant dans le passé. Il faudra remonter suffisamment loin dans le passé de manière à ce que toutes les chaînes prennent la m »me valeur aléatoire X à l’instant présent (on dit alors qu’il y a coalescence). L’algorithme CFTP retourne alors la valeur X, dont la distribution est exactement p.

Dans cet exposé, on commencera par détailler cet algorithme, et en particulier on montrera que la loi de X est exactement p. On verra ensuite que sous certaines hypothèses de monotonie des applications de transitions, on peut assurer la coalescence presque sûre. Et enfin, on proposera quelques exemples d’application de CFTP, notamment à la simulation d’un champ aléatoire Ising sur un domaine discret fini.