* Arnaud Rousselle (LMRS, Rouen) - MAP5-UMR 8145

Arnaud Rousselle (LMRS, Rouen)

Critères de récurrence ou de transience pour des marches aléatoires sur des graphes aléatoires engendrés par des processus ponctuels dans $\mathbb{R}^d$

vendredi 21 juin 2013, 13h30 - 14h15

Salle de réunion, espace Turing


Les marches aléatoires sur des graphes aléatoires plongés dans $\mathbb{R}^d$ apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes issus de la mécanique statistique dans des milieux aléatoires et irréguliers tels que la descripton de flux, de diffusions de molécules ou de chaleur. L’idée générale est d’étendre des résultats connus sur la grille $\mathbb{Z}^d$ à des graphes engendrés par des processus ponctuels dans $\mathbb{R}^d$.

Dans cet exposé, on considère des marches à conductances sur des graphes dépendants de la géométrie d’un ensemble aléatoire et infini de points. Plus précisément, étant donnée une réalisation d’un processus ponctuel simple dans $\mathbb{R}^d$, un graphe connexe, infini, locallement fini $G=(S,A)$ est construit et muni d’une fonction de conductance $C$, c’est-à-dire une fonction positive et symétrique sur son ensemble d’ar »tes $A$. La marche aléatoire sur $G$ associée à $C$ est la cha\^ine de Markov homogène en temps $(X_n)_n$ dont les probabilités de transition sont données par : \[\mathbb{P}\big[X_{n+1}=v\big| X_n=u\big]=\frac{C(u,v)}{w(u)},\] o\`u $w(u):=\sum_{v\sim u}C(u,v)$.

Deux critères généraux pour la récurrence ou la transience presque-s\^ure de telles marches seront présentés. Les preuves de ces résultats s’appuient sur une analogie bien connue entre les marches aléatoires et les réseaux électriques, ainsi que sur une comparaison avec les marches aléatoires sur les amas de percolation en régime sur-critique dans $\mathbb{Z}^d$ pour $d\geq 3$. Sous des hypothèses convenables sur le processus ponctuel sous-jacent $\mathcal{N}$ et la fonction de conductance $C$, on montre que les marches aléatoires sur la triangulation de Delaunay, le graphe de Gabriel et le squelette de la mosa\ »ique de Vorono\v{\i} de $\mathcal{N}$ sont récurrentes si $d=2$ et transientes si $d\geq 3$.