* Pierre Calka (LMRS, Université de Rouen) - MAP5-UMR 8145

Pierre Calka (LMRS, Université de Rouen)

De nouveaux éléments sur l’étude des polytopes aléatoires

vendredi 27 juin 2014, 9h30 - 10h30

Salle de réunion, espace Turing


L’idée de considérer l’enveloppe convexe d’un ensemble aléatoire de points d’un espace euclidien remonte au problème classique de J. J. Sylvester datant de 1864 et surtout aux articles fondateurs dûs à A. Rényi et R. Sulanke en 1963 et 1964. Lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini, le but est d’apporter des réponses aux questions suivantes : quelle est la loi asymptotique du nombre de points extrémaux ainsi que leur localisation ? Plus généralement, comment se comportent les différents nombres de faces et volumes de l’enveloppe ? Enfin, comment décrire la forme asymptotique de l’enveloppe ?

Si les calculs d’espérance et certains résultats de normalité asymptotique sont connus, il est plus délicat d’obtenir des moments d’ordre supérieur ainsi que des informations d’ordre géométrique. De plus, les équivalents asymptotiques dépendent fortement de la nature du modèle. Notre contribution est d’obtenir l’existence de variances asymptotiques associées à des changements d’échelle explicites de la frontière de l’enveloppe. Nous reviendrons sur le cas où les points sont uniformes et indépendants dans un convexe compact de l’espace euclidien à bord lisse puis sur le cas où les points sont i.i.d. et gaussiens. Nous nous intéresserons ensuite au cas de points uniformes et indépendants dans un polytope fixé.

Cet exposé se présente comme la suite de la présentation faite en juin 2013 dans ce m »me groupe de travail mais tous les rappels nécessaires seront faits en introduction. Il s’agit d’un travail en collaboration avec J. E. Yukich.