* Rania Zgheib (Université de Marne-la-Vallée) - MAP5-UMR 8145

Rania Zgheib (Université de Marne-la-Vallée)

Test d’adéquation pour grandes matrices de covariances.

jeudi 19 juin 2014, 13h30 - 14h30

Salle de réunion, espace Turing


Nous observons

$X_1,\ldots,X_n, n$

variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans

$\mathbb{R}^p$

pour

$p \in \mathbb{N}^*$

, suivant la m »me loi gaussienne

$N_p(0,\Sigma)$

. A partir de cet échantillon, nous voulons tester

$H_0 : \Sigma = Id $

, contre l’alternative non paramétrique

$H_1 : \Sigma \in \mathcal{F}(\alpha,L)$

et

$\|\Sigma – Id\|_F^2 /p \geq \varphi^2$

. L’écart entre une matrice

$\Sigma$

et l’identité est mesuré en norme de Frobenius et la classe

$\mathcal{F}(\alpha,L)$

contient les matrices de covariances de diagonale 1, telle que

$\displaystyle \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p \sum_{\displaystyle^{j=1}_{j>i}}^p \sigma_{ij}^2 |i-j|^{2\alpha} \leq L .$

L’estimation des grandes matrices de covariance a été souvent considérée sous l’aspect minimax. En revanche, le problème de test a été considéré jusqu’ici seulement par Cai et Ma 2013 pour l’alternative

$H_1 : \|\Sigma – Id\|_F^2 /p \geq \varphi^2$

. Nous proposons une procédure de test et calculons la borne asymptotique de séparation

$\varphi^2$

pour lesquelles le risque maximal de test tend vers 0, quand

$n$

et

$p$

tendent vers l’infini. Dans le cas où

$\Sigma$

est Toeplitz et

$n=1$

, ces vitesses sont connues minimax exactes (Ermakov 1994).