Michel Zinsmeister (Université d’Orléans)

De la conjecture de Bieberbach à l’analyse multifractale des processus de Schramm-Loewner

vendredi 22 mai 2015, 11h00 - 12h00

Salle de réunion, espace Turing


Bieberbach a énoncé en 1916 sa célèbre conjecture sur les coefficients de Taylor des représentations conformes. Cette conjecture, qui n’a été démontrée qu’en 1984 par De Branges, a suscité dans l’intervalle de nombreux travaux dont ceux de Loewner qui a prouvé en 1923 le cas n = 3 de la conjecture. Il a développé pour cela une théorie de la croissance planaire : très schématiquement il associe à certains processus croissants une fonction dite pilote de R+ dans le cercle unité. De façon remarquable il a montré qu’inversement la donnée d’une fonction pilote permet de produire un processus croissant.
En 1999, Schramm a mis à profit cette théorie en considérant des fonctions pilotes du type λ(t) = exp{iκBt} , où Bt est un Brownien unidimensionnel standard et κ une constante positive, créant ainsi la puissante théorie des processus SLE (Schramm-Loewner evolution).
Le point de départ du travail que je veux présenter est une sorte de retour aux sources : comment se comportent les coefficients de Bieberbach pour les processus SLE ?
Il s’avère que cette curiosité nous a conduit à la mise à jour d’une structure extr »mement riche qui permet en particulier d’y voir plus clair dans le spectre multifractal (en espérance) des processus SLE. L’exposé ne supposera aucune connaissance particulière : il inclura un historique de la conjecture de Bieberbach et une exposition des processus SLE.
(Travail en commun avec B.Duplantier (Saclay), Ho Xuan Hieu et Le Thanh Binh (Orléans))