* Romain Hug - MAP5-UMR 8145

Romain Hug

Transport optimal

jeudi 28 janvier 2016, 13h30 - 14h30

Salle de réunion, espace Turing


Le transport optimal, vieux problème formulé par G.Monge à la fin du XIIIième siècle, et bien que n’ayant jamais été totalement oublié (en particulier ressuscité dans les années 40 par L.Kantorovich), se voit depuis une vingtaine d’années redoré de nouveaux enjeux. L’émergence de problèmes faisant intervenir des flots de gradient, son usage en tant qu’outil topologique (par exemple en théorie des probabilités) offre à cette théorie une nouvelle jeunesse.

D’autre part, de nouvelles écoles plus appliquées font de plus en plus appel à cette théorie : mécanique, économie, traitement du signal, imagerie numérique, etc… Il se révèle en effet d’un intér »t majeur pour un grand nombre de problèmes nécessitant la comparaison et l’interpolation de diverses densités. L’efficacité croissante de son traitement numérique explique en grande partie la récente popularité du transport optimal dans ces divers domaines.

Ces méthodes numériques se concentrent généralement autour de deux types de formulations : continues et discrètes.

Dans la formulation continue du problème du transport optimal, plusieurs approches ont été proposées, plus ou moins récemment, pour résoudre le problème de manière rapide, mais en se limitant souvent à des densités ne s’annulant pas.

La seule approche numérique permettant de gérer de telles données prend sa source dans les travaux de Y. Brenier et J.D. Benamou, grâce à leur formulation plus « physique » de ce type de problème, faisant appel à des équations tirées de la mécanique des fluides.

L’idée est de représenter le problème de transport optimal comme un problème de minimisation convexe d’énergie pour un déplacement continu de masses. Ainsi reformulé, il est possible de résoudre numériquement le nouveau problème par un algorithme de type Uzawa, basé sur la méthode des lagrangiens augmentés. Cet algorithme est aujourd’hui communément connu sous le nom d’algorithme de Benamou-Brenier.

Par la suite, de nombreux algorithmes de résolution du problème continu de transport optimal, bien que différents quant à la méthode d’optimisation, se sont de m »me basés sur cette formulation de type « mécanique des fluides ».

Cet exposé, basé sur un travail de thèse effectué au Laboratoire Jean-Kuntzmann à Grenoble sous la direction d’Emmanuel Maitre et Nicolas Papadakis, portera principalement sur l’étude de la consistance mathématique de cette formulation « physique » (existence et unicité de solutions, problèmes de régularité), et de ce premier algorithme (convergence faible, forte, etc…).