Laurent Navoret (Université Paris Descartes/MAP 5)

Modèle macroscopique avec congestion pour les troupeaux de moutons

vendredi 1 octobre 2010, 11h00 - 12h00

Salle de réunion, espace Turing


Résumé : L’agrégation des moutons conduit à l’apparition de régions
congestionnées, au sein desquelles la densité atteint son maximum. Pour
étudier ce phénomène de congestion, nous présentons un modèle
macroscopique (hyperbolique et non-conservatif) dérivé de la dynamique
d’un système de particules auto-propulsées soumis à des forces
d’attraction-répulsion. Ce modèle contient une pression qui devient
singulière lorsque la densité approche la densité maximale. En accentuant
la singularité de la pression dans le modèle macroscopique, nous obtenons
un modèle asymptotique où apparaissent deux phases avec des dynamiques
distinctes : une phase congestionnée avec une dynamique incompressible
(zone de densité maximale) et une phase diluée avec une dynamique d’un
flot compressible. Le modèle limite nécessite des conditions de
transmission entre les deux phases. Celles-ci sont obtenues en étudiant
les problèmes de Riemann à l’interface des deux phases et en surmontant le
caractère non-conservatif du modèle. Néanmoins, cette méthodologie ne
permet pas d’accéder à la géométrie de la collision entre deux domaines de
densité maximale. Pour palier ce manque, nous proposons d’étudier la
dynamique numériquement et nous développons pour cela des schémas
permettant de traiter la raideur de la contrainte de congestion.