Pierre Petit (Université Paris Sud)

Sur la théorie de Cramer et sa généralisation aux champs asymptotiquement découplés

vendredi 19 novembre 2010, 14h30 - 15h30

Salle de réunion, espace Turing


Le contenu de l’exposé s’inscrit dans une suite de travaux sur la théorie fondamentale des grandes déviations. Cramer (1938) a montré que les moyennes empiriques d’une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de m »me loi vérifient un principe de grandes déviations (PGD). Et Chernoff (1952) a identifié l’entropie du PGD et l’opposée de la fonction convexe-conjuguée de la pression (s=-p*). Donsker et Varadhan (1966) ont proposé un cadre généralisant l’obtention du PGD, d’où découle l’égalité s=-p*. Leur formalisme a été approfondi dans les ouvrages classiques d’Azencott (1980), de Acosta (1985), Deuschel et Stroock (1989) et Dembo et Zeitouni (1993). Reprenant les idées de Bahadur et Zabell (1979), nous donnerons un cadre plus optimal pour l’égalité s=-p*. Ce travail permet de mieux comprendre les outils pertinents pour la théorie de Cramer (sous-additivité, convexité,
convexe-tension). Au passage, nous donnons une nouvelle preuve, plus simple, du résultat originel de Cramer sur la droite réelle. D’autre part, nous étendons la théorie de Cramer aux champs asymptotiquement découplés introduits par Pfister (2002) : nous relaxons donc l’hypothèse d’indépendance, tout en conservant une forme de sous-additivité. Le cadre finalement obtenu contient les théories de Cramer et de Sanov pour des variables indépendantes, ainsi que les principes de grandes déviations pour les chaînes de Markov (Donsker et Varadhan) et les mesures de Gibbs (Comets, Orey, Pelikan, Föllmer, Ort et Olla).

Mots-clefs : grandes déviations, théorie de Cramer, découplage asymptotique.