* Gaëlle Chagny (MAP5, Université Paris Descartes) - MAP5-UMR 8145

Gaëlle Chagny (MAP5, Université Paris Descartes)

Estimation d’une fonction de régression avec des bases déformées : le point de vue de la sélection de modèle (par pénalisation et méthode de Lepski)

vendredi 10 juin 2011, 9h30 - 10h45

Salle de réunion, espace Turing


L’objectif de cet exposé est de présenter la construction de deux nouveaux estimateurs pour le problème classique de l’estimation d’une fonction de régression, dans le cas où le design est aléatoire.

On utilise une procédure de sélection de modèles, par pénalisation d’une part et par méthode de Lepski d’autre part : on considère donc des estimateurs par projection fondés sur le développement de la fonction à reconstruire dans des bases fonctionnelles orthonormées de L^2. Il s’agit d’estimer un nombre fini des coefficients de ces développements, nombre déterminé ensuite de manière adaptative en utilisant un critère pénalisé ou un critère fondé sur les travaux de Goldenshluger et Lepski. La nouveauté des estimateurs construits réside dans l’utilisation de bases déformées par la fonction de répartition du design ou un estimateur de celle-ci, comme proposé dans un article de Kerkyacharian et Picard (2004), pour éviter les problèmes liés au calcul des coefficients estimés (inversion de matrice dans le cas d’un estimateur des moindres carrés par exemple). Ceci permet d’obtenir des estimateurs dont les expressions sont explicites, qui sont facilement implémentables, et dont on étudie ensuite le risque quadratique intégré. On démontre des inégalités-oracle prouvant que les estimateurs construits vérifient automatiquement le compromis biais/variance. En outre, on en déduit des vitesses de convergence dans le cas où la fonction de régression appartient à un espace de Besov ou de Sobolev.

On présente enfin des simulations permettant d’illustrer les résultats obtenus, de comparer les performances des deux estimateurs construits, entre eux et avec celles d’estimateurs des moindres carrés.