Ronan Herry (MAP5)

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Représentation chaotique, décomposition de Hoeffding et théorèmes limites pour les processus binomiaux.

vendredi 12 octobre 2018, 9h30 - 10h30

Salle du conseil, espace Turing


Nous étudions les fonctionnelles d’un processus binomial, c’est un processus ponctuel dont les points sont indépendants et de même loi et le nombre de points est aussi aléatoire et indépendant des points. Par exemple, si le nombre de points suit une loi de Poisson on retrouve le cas bien connu des processus de Poisson ponctuels. Nous montrons, suivant l’étude de G. Last & M. D. Penrose (2011, PTRF) pour les processus de Poisson, que l’espace des fonctionnelles de carré intégrable d’un processus binomial a la propriété de représentation chaotique et satisfait un théorème du moment quatrième. Essentiellement, cela signifie que l’on peut définir des intégrales multiples par rapport à un processus binomial, que toute fonctionnelle L2 s’écrit comme une somme d’intégrales multiples et que la loi d’une intégrale multiple F est proche d’une loi normale dès que son moment quatrième est proche de satisfaire la relation gaussienne EF^4 = 3(E F^2)^2. Dans le cas d’un processus binomial de taille déterministe n, la
décomposition chaotique permet de voir le décomposition de Hoeffding comme une décomposition en intégrales stochastiques.
A partir du théorème du moment quatrième, on discutera de théorèmes limites pour des U-statistiques.