Thomas Duquesne (Sorbonne Université / LPMA)

Carte non disponible

Limites d’échelle d’arbres et de graphes aléatoires

vendredi 25 mai 2018, 11h00 - 12h00

Salle du conseil, espace Turing


Nous exposons plusieurs résultats de convergencede graphes aléatoires dans le sens où leur distance de graphe renormalisée tend en loi vers la métrique d’un espace continu aléatoire non-trivial. Un des premiers résultats de ce genre, dû à D. Aldous (1991), concerne l’arbre uniforme à N sommets dont la métrique, normalisée par la racine carrée de N, converge en loi vers celle de l’arbre brownien, un arbre réel compact aléatoire codé par l’excursion brownien normalisée, comme J-F. Le Gall l’a démontré en 1992.

Après avoir dressé un panorama rapide de ces convergences d’arbres, nous parlerons ensuite de la limite d’échelle possible de graphes aléatoires « uniformes ». Ici plusieurs modèles sont possibles : nous nous concentrerons sur les graphes d’Erdös-Rényi qui forment une classe naturelle possédant un maximum de propriétés d’indépendance. L. Addario-Berry, N. Broutin et C. Goldschmidt en 2012 ont montré la convergence des graphes d’Erdös-Rényi critiques vers ce que je nommerai le graphe multiplicatif brownien (en raison de ses liens avec le coalescent multiplicatif, liens identifiés par D. Aldous).

Après avoir rappelé ce résultat et ses liens avec le coalescent multiplicatif, nous exposerons un résultat nouveau autour de cette convergence qui permet d’injecter le graphe multiplicatif Brownien dans l’arbre Brownien et qui permet aussi de comprendre plus simplement cette convergence. Ce dernier point est issu d’un article écrit en collaboration avec N. Broutin et M. Wang.

Voir: https://arxiv.org/abs/1804.05871