Cécile Taing, INRIA – Institut de Mathématiques de Bordeaux

Carte non disponible

Dynamique de concentration dans un modèle de population structuré en âge et en phénotype

vendredi 11 janvier 2019, 9h30 - 10h30

Salle du conseil, espace Turing


Une manière d’illustrer la sélection d’individus les plus adaptés à partir d’un modèle de population structurée par une variable de trait est la convergence de la densité de population vers une masse de Dirac concentrée en le trait sélectionné. Dans cet exposé, je vous présenterai les résultats de l’article [1], dont l’objet a été de d’écrire le comportement asymptotique de la solution d’une équation structurée en âge et en trait, et de poser les bonnes hypothèses permettant d’observer la concentration de la population. Voici le modèle:

\(\left\{\begin{array}{ll} \epsilon \partial_t m_\epsilon(t,x,y) + \partial_x\left[A(x,y)m_\epsilon(t,x,y)\right] +\left(\rho_\epsilon(t)+d(x,y)\right)m_\epsilon(t,x,y)=0,\\[2mm]A(x=0,y)m_\epsilon \left(t,x=0,y\right)=\frac{1}{\epsilon^n}\int{M(\frac{y’-y}{\epsilon})b(x’,y’)m_\epsilon(t,x’,y’)d x’ d y’},\\[2mm]\rho_\epsilon(t)=\int \int{m_\epsilon(t,x,y)d x d y},\\[2mm] m_\epsilon(t=0,x,y)=m_\epsilon^0(x,y)>0, \end{array}\right. \)

avec x la variable d’âge et y un trait phénotypique continu. L’inconnu m est la distribution de population et la fonction A(x, y) représente le taux de vieillissement de la population portant le trait y. Le paramètre est introduit par un changement d’échelle de temps. Le terme non-local ρ induit un effet de saturation avec le taux de mort d(x, y) > 0. Le terme de bord décrit la naissance de nouveaux-nés à un taux de reproduction b(x, y) > 0 avec un noyau de mutation M.

Dans un premier temps, j’introduirai un modèle simplifié en supposant qu’il n’y pas de mutations. L’analyse de ce modèle repose sur l’étude d’un problème aux valeurs propres paramétré par la variable de trait. Ensuite je présenterai le modèle avec mutations qui fait apparaître une équation d’Hamilton-Jacobi sous contrainte.