Florian Dussap

Nouvelles perspectives sur les problèmes inverses : stratégies multidimensionnelles pour la déconvolution ou la régression et estimation de la probabilité de ruine

vendredi 24 juin 2022, 14h00

Salle du conseil, espace Turing


Dans cette thèse, on s’intéresse à trois problèmes inverses de statistique non paramétrique. Nous étudions l’estimation de fonctions à plusieurs variables sur des domaines non compacts : R^d et R_+^d. Nous utilisons pour cela des estimateurs par projection sur des bases orthonormées obtenues en tensorisant la base d’Hermite (cas de R^d) et la base de Laguerre (cas de R_+^d). Ces bases sont construites à partir de polynômes orthogonaux et ont la particularité d’être à support non compact. Cela évite la question du choix du support qui se pose avec les bases dont le support est un intervalle [a, b] par exemple. Pour garantir que nos estimateurs aient de bonnes performances, la dimension de l’espace de projection nécessite d’être choisie. Nous utilisons pour cela deux procédures : la sélection de modèle par pénalisation et la méthode de Goldenshluger et Lepski. Ces procédures nous permettent de construire des estimateurs adaptatifs relativement aux espaces de régularité associés aux bases utilisées : les espaces de Sobolev-Laguerre et les espaces de Sobolev-Hermite.

Le premier problème étudié est celui de la déconvolution d’une densité sur R_+^d, c’est-à-dire le problème de l’estimation d’une densité sur R_+^d à partir d’observations buités. Le deuxième problème est celui de l’estimation de la fonction de Gerber-Shiu dans le modèle de Cramér-Lundberg. Ce modèle modélise l’évolution des réserves financières d’une compagnie d’assurance et la fonction de Gerber-Shiu est une quantité liée au risque de faillite de la compagnie. Son estimation nécessite la résolution d’un problème de déconvolution sur R_+. Enfin, le troisième problème est celui de la régression non paramétrique avec un design aléatoire. Dans ce problème, on observe des paires (X, Y) qui satisfont Y = b(X) + erreur, l’objectif étant de reconstruire la fonction b. Notre contribution est de considérer des domaines d’estimation non compacts de R^p et d’étudier théoriquement le risque de l’estimateur pondéré par la loi du design. On propose une procédure de sélection de modèle dans laquelle la collection de modèles est aléatoire et prend en compte l’écart entre la norme empirique et la norme associée à la loi du design.