Test d’adéquation pour grandes matrices de covariances.

jeudi 19 juin 2014, 13h30 - 14h30

Salle de réunion, espace Turing

Nous observons

$\$X\_1,\backslash ldots,X\_n,\; n\$$

variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans

$\$\backslash mathbb\{R\}^p\$$

pour

$\$p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}^*\$$

, suivant la m »me loi gaussienne

$\$N\_p(0,\backslash Sigma)\$$

. A partir de cet échantillon, nous voulons tester

$\$H\_0\; :\; \backslash Sigma\; =\; Id\; \$$

, contre l’alternative non paramétrique

$\$H\_1\; :\; \backslash Sigma\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}(\backslash alpha,L)\$$

et

$\$\backslash |\backslash Sigma\; –\; Id\backslash |\_F^2\; /p\; \backslash geq\; \backslash varphi^2\$$

. L’écart entre une matrice

$\$\backslash Sigma\$$

et l’identité est mesuré en norme de Frobenius et la classe

$\$\backslash mathcal\{F\}(\backslash alpha,L)\$$

contient les matrices de covariances de diagonale 1, telle que

$\$\backslash displaystyle\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^p\; \backslash sum\_\{\backslash displaystyle^\{j=1\}\_\{j>i\}\}^p\; \backslash sigma\_\{ij\}^2\; |i-j|^\{2\backslash alpha\}\; \backslash leq\; L\; .\$$

L’estimation des grandes matrices de covariance a été souvent considérée sous l’aspect minimax. En revanche, le problème de test a été considéré jusqu’ici seulement par Cai et Ma 2013 pour l’alternative

$\$H\_1\; :\; \backslash |\backslash Sigma\; –\; Id\backslash |\_F^2\; /p\; \backslash geq\; \backslash varphi^2\$$

. Nous proposons une procédure de test et calculons la borne asymptotique de séparation

$\$\backslash varphi^2\$$

pour lesquelles le risque maximal de test tend vers 0, quand

$\$n\$$

et

$\$p\$$

tendent vers l’infini. Dans le cas où

$\$\backslash Sigma\$$

est Toeplitz et

$\$n=1\$$

, ces vitesses sont connues minimax exactes (Ermakov 1994).