Principe d’invariance presque-sûr pour les marches au hasard sur des triangulations de Poisson-Delaunay

vendredi 19 juin 2015, 9h30 - 10h30

Salle de réunion, espace Turing

$La\; mosaïque\; de\; Voronoï\; d’un\; sous-ensemble\; infini\; et\; localement\; fini\; \$\backslash xi\$\; de\; \$\backslash mathbf\{R\}^d\$\; est\; la\; collection\; des\; cellules\; de\; Voronoï:$
$${\rm Vor}_\xi(x)=\left\{y\in\mathbf{R}^d:\Vert y-x\Vert\leq\Vert y-x’\Vert,\forall x’\in\xi\right\},\qquad x\in\xi,$$
et la triangulation de Delaunay associée est son graphe dual dans lequel les sommets $x$ et $x’$ sont reliés par une ar »te si ${\rm Vor}_\xi(x)$ et ${\rm Vor}_\xi(x)$ partagent une face $(d-1)$-dimensionnelle. Lorsque $\xi$ est tiré selon un processus ponctuel de Poisson, on parle de mosaïque de Poisson-Voronoï et de triangulation de Poisson-Delaunay. Ces modèles réalistes ont trouvé des applications dans des domaines variés (géographie, biologie, télécommunications, …).

Cet exposé s’inscrit dans la lignée de celui que j’avais proposé au groupe de travail en probabilité du MAP5 en juin 2013 et porte sur les marches au plus proche voisin sur des triangulations de Poisson-Delaunay.
Après une présentation de l’état des connaissances actuelles concernant l’étude de telles marches aléatoires (récurrence/transience et principe d’invariance `annealed’), on établit un principe d’invariance presque-sûr (ou `quenched’).