Maxime Delabassée (Université Toulouse 3)

Unicité en percolation sur les graphes

vendredi 28 septembre 2007, 14h00 - 15h00

Salle de réunion, espace Turing


Avant 1990, la percolation était principalement étudiée sur $\Z^d$.

Depuis Grimmett et Newmann et leur fameux exemple du produit direct d’un arbre régulier et de $\Z$, une étude générale de la percolation a été initiée par Benjamini et Schramm.

Certains résultats connus sur $\Z^d$ ont été étendus au contexte des graphes transitifs infinis. Mais certains de ces graphes exhibent un comportement different de ceux connus pour les réseaux euclidiens.

Un des comportements les plus remarquable est que pour certains types de graphes il existe, en percolation de Bernoulli, un intervalle de valeurs du paramètre de la percolation sur lequel cette percolation produit presque sûrement un nombre infini de clusters de taille infinie, ce qui est contraire au cas des réseaux euclidiens.

Il est conjecturé que cette classe de graphes est celle des graphes non moyennables (c’est à dire ceux qui ont une propriété forte d’isopérimetrie).

Le but de cet exposé est de donner un petit apperçu sur le sujet de l’unicité ou la non unicité du nombre de clusters de taille infinie pour la percolation sur les graphes, de présenter la conjecture, et certains des résultats partiels qui existent, ainsi que quelques pistes de recherche afin de progresser dans cette direction.