Clément Rau

MARCHES ALEATOIRES SUR UN AMAS INFINI DE PERCOLATION.

vendredi 22 février 2008, 14h00 - 15h00

Salle de réunion, espace Turing


Dans cet exposé, après avoir fait un rapide tour d’hori-
zon des principaux résultats connus pour la marche aléatoire simple
sur un amas infini issu d’un processus de percolation sur les arêtes
de Z^d (d supérieur à 2) de loi Q, on montre que la transformée de Laplace du
nombre de points visités au temps n, noté N_n, a un comportement
similaire au cas où la marche évolue dans Z^d. Plus précisément, on
établit que pour tout 0 <\alpha < 1, il existe des constantes C_i, C_s > 0
telle que Q p.s sur un amas infini et pour n assez grand,

\exp(-C_i n^{d/(d+2)}) \leq \E_0[\alpha^{N_n} \leq \exp(-C_s n^{d/(d+2)})

Le point principal du travail réside dans l’obtention de la borne
supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une inégalité isopérimétrique sur l’amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui
nous permet alors d’obtenir une majoration de la probabilité de
retour d’une certaine marche sur ce produit en couronne. L’introduction d’un produit en couronne est justement motivée par le fait
que la probabilité de retour sur un tel graphe s’interprète comme
l’espérance de la transformée de Laplace du nombre de points visités.