Eva Locherbach et Dasha Loukianova (Paris Est/Evry et MAP5)

Méthode régénérative de Nummelin en temps continu et applications. Partie 1.

vendredi 28 mars 2008, 9h30 - 10h45

Salle de réunion, espace Turing


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La méthode classique de Nummelin (introduite indépendamment par
Nummelin et Athreya et Ney en 1978) s’applique aux chaînes de Markov
récurrentes (temps discret) et sert à démontrer les théorèmes limites pour ces chaînes comme par exemple la loi du logarithme itéré, tcl , grandes déviations ou déviations modérées…

La méthode consiste à plonger (en loi) la chaîne initiale dans une chaîne à deux coordonnées, pour laquelle on peut décomposer la trajectoire en « cycles indépendants et de m »me loi » et finalement utiliser les théorèmes existants pour les variables i.i.d.

La méthode de Nummelin est basée sur la structure discrète de la chaîne, et jusqu’à nos jours il n’existait aucun analogue de cette méthode pour les processus de Markov en temps continu.

Alors pour démontrer les théorèmes limites dans ce dernier cas on
utilisait la méthode d’une chaîne exponentielle, qui consiste à extraire une chaîne du processus, observée en des temps i.i.d. exponentielles, obtenir des résultats pour cette chaîne et ensuite les transporter au processus.

Cette dernière méthode a cependant une portée limitée.

Dans notre travail (Locherbach Loukianova, SPA 2008 à paraître), on
propose un analogue de la méthode de Nummelin pour les processus de
Markov en temps continu. On arrive à plonger le processus dans un processus de Markov à 3 coordonnées, pour lequel, à défaut d’avoir « des cycles i.i.d. » on a des cycles « fortement mélangeants ».

La plupart des théorèmes limites restent vrais pour les variables
« fortement mélangeantes » et notre méthode s’applique dans ces cas.

Pour l’illustre on obtient la Loi du logarithme itérée pour les fonctionnels additifs et les martingales d’un processus de Markov récurrent; ainsi que la vitesse de convergence de l’estimateur de Nadaraya Watson pour les diffusions multidimensionnelles.