Sophie Dede (Université Paris 6)

Un Théorème Limite Central empirique dans $L^1$ pour des suites de variables aléatoires stationnaires

vendredi 12 février 2010, 13h30 - 14h30

Salle de réunion, espace Turing


Nous nous intéressons ici au Théorème Limite Central pour la distance $L^1$ de
Wasserstein, entre la fonction de répartition et la fonction de répartition empirique correspondante pour une suite de variables aléatoires stationnaires.

Dans la littérature, de nombreux travaux sur la distance de Kantorovitch ou $L^1$ de Wasserstein, existent pour des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (cf en particulier, l’article de del Barrio, Giné et matran). Notre résultat principal consiste à généraliser leur Théorème 2.1, au cas des suites de variables aléatoires stationnaires, sous des conditions de dépendance appropriées.

Soit $L^1(\mu)=L^1(T,\mu)$, avec $\mu$ une mesure $\sigma$-finie, l’espace de Banach des fonctions réelles $\mu$-intégrables sur T.

Après avoir énoncé le Théorème Limite Central pour des suites de variables aléatoires stationnaires ergodiques de différences de martingales dans $L^1(\mu)$, nous en déduirons, grâce à une approximation par des différences de martingales, un Théorème Limite Central pour des suites de variables aléatoires stationnaires ergodiques à valeurs dans $L^1(\mu)$, et satisfaisant des conditions projectives.

Ceci nous permet d’aboutir à un Théorème Limite Central pour des statistiques du type distance $L^1$ de wasserstein entre la fonction de répartition et la fonction de répartition empirique pour d’importantes classes de suites de variables aléatoires stationnaires. En particulier, nous donnerons des applications aux systèmes dynamiques et aux processus linéaires causaux.