Nicolas Marie (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Calcul des grecques

vendredi 12 février 2010, 14h30 - 15h30

Salle de réunion, espace Turing


Dans un modèle de marché financier à un actif risqué, modélisé par une EDS dirigée par le mouvement brownien canonique et à coefficients bornés (ceci excluant le cas du modèle de Black-Scholes), nous considérerons une option de payoff h et d’échéance T > 0.
Nous chercherons à calculer la sensibilité du prix de celle-ci à une variation infinitésimale de chaque paramètre du modèle : le drift, la valeur (déterministe) du processus des cours S à l’instant 0 et la volatilité. Ces quantités s’appellent les grecques : respectivement Rho, Delta et Véga.
Dans une première partie, nous nous intéresserons au cas où h est une fonctionnelle à un point : la valeur du processus S à la date T.
Dans une second partie, nous verrons qu’excepté pour Rho, il est impossible d’étendre les résultats de la première partie par la m »me technique de changement absolument continu de probabilités sur l’espace de Wiener lorsque h est une fonctionnelle de toute la trajectoire du processus S. Toutefois, nous insisterons sur le fait que le caractère markovien des processus de diffusion permet l’extension presque immédiate au cas où h est une fonctionnelle d’un nombre fini de points de la trajectoire de S.
Finalement, précisons que m »me s’il ne jouera pas un rôle central dans notre approche, le calcul de Malliavin permettra d’obtenir des expressions de Delta et Véga moins exigeantes en termes de régularité sur h.