Jérôme Dedecker (Université Paris 6-Pierre et Marie Curie, LSTA)

Déconvolution pour la distance de Wasserstein d’ordre 2 et propriétés topologiques du support d’une mesure

vendredi 2 avril 2010, 9h30 - 10h45

Salle de réunion, espace Turing


On commencera par rappeler brièvement les résultats obtenus par
F. Chazal, D. Cohen-Steiner et Q. Mérigot qui expliquent comment retrouver
de l’information de nature topologique (nombre de composantes connexes, etc.)
sur le support (compact) d’une mesure mu sur R^d à partir d’observations bruitées de cette mesure.

Si on note mu_n la mesure empirique obtenues à partir
des observations, leur résultat peut grossièrement s’énoncer ainsi : si la distance de Wasserstein d’ordre 2 entre mu et mu_n, notée W_2(mu_n, mu),
est assez petite, et si mu possède de bonnes propriétés, alors on peut
obtenir à partir de mu_n une estimation du support de mu qui sera homotope
au support de mu.

Ce résultat est vrai sans supposer de lien entre mu_n et mu, pourvu que
W_2(mu_n, mu) soit assez petite. Mais si l’on suppose que les observations
Z_i proviennent d’un modèle statistique sous-jacent, on peut améliorer la
procédure en remplaçant mu_n par un estimateur mu’_n de mu de sorte
que W_2(mu’_n, mu) converge vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

On
expliquera comment procéder dans le cadre du modèle de convolution, c’est
à dire lorsque Z_i=X_i+ epsilon_i, où les X_i suivent la loi mu et
epsilon_i est une variable symétrique dans R^d (typiquement une gaussienne
centrée). Il s’agit d’un problème de déconvolution différent de celui
où l’on estime la densité de mu, car ici les mesures que l’on considère
ne possèdent pas en général de densité sur R^d (typiquement elles chargent
des surfaces de R^d de dimensions inférieures à d).

Travail en collaboration avec Frédéric Chazal (INRIA Saclay), Claire Caillerie (INRIA Saclay) et Bertrand Michel (LSTA Université Paris 6).