Florent Benaych-Georges (LPMA, Paris 6)

Valeurs extr »mes et probabilités libres

vendredi 9 avril 2010, 14h30 - 15h30

Salle de réunion, espace Turing


Considérons une matrice hermitienne X dont la loi spectrale empirique converge vers une loi limite quand la dimension tend vers l’infini et telle que les valeurs propres extr »mes tendent vers les bornes du support de cette loi (c’est le cas, par exemple, si X est une matrice de Wigner : dans ce cas, la loi limite est la loi semi-circulaire). On applique à X une perturbation additive, ce qui nous amène à considérer X+P. Notre hypothèse est que le rang de P reste borné quand la dimension tend vers l’infini et que les sous-espaces propres de X et P sont en position générique les uns par rapport aux autres (c’est le cas, par exemple, lorsque X est distribué selon le GUE).

Une question naturelle se pose alors : comment les valeurs propres et vecteurs propres de X sont-ils perturbés par l’addition de P ?

Cette question a déjà été posée, pour un modèle assez proche, par Johnstone, et résolue, dans plusieurs cas particuliers, par Baik, Ben Arous, Péché, Féral, Capitaine et Donati-Martin.

Nous allons donner une réponse générale, faisant apparaître une transition de phase. Nous examinerons aussi les vecteurs propres associés et généraliserons au cas de perturbations multiplicatives ou de perturbations additives pour les valeurs singulières de matrices rectangulaires.