Marie Théret (DMA, ENS Paris)

Étude de flux maximaux à travers des cylindres en percolation de premier passage : sous-additivité et inégalités de concentration

vendredi 18 juin 2010, 15h00 - 16h00

Salle de réunion, espace Turing


Nous considérons le modèle de percolation de premier passage sur le graphe
$\mathbb{Z}^d$ : on associe indépendamment à chaque ar »te $e$ du graphe une
variable aléatoire $t(e)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$. Nous interprétons
$e$ comme un tube, et $t(e)$ comme la quantité maximale d’eau qui peut
traverser le tube $e$ par seconde. Nous considérons donc un modèle de roche
poreuse. Il en découle une définition naturelle du flux maximal à travers
une partie du graphe, représentant un morceau de roche, entre deux régions
disjointes de son bord. Il est plus facile de considérer une roche de forme
« sympathique », i.e., un cylindre à base rectangulaire. Nous nous intéressons
à deux types de flux à travers un cylindre : le flux maximal entre son
sommet et sa base, et le flux maximal entre la moitié supérieure et la
moitié inférieure de son bord. Nous présenterons quelques résultats
concernant le comportement asymptotique de ces flux maximaux (loi des grands
nombres, grandes déviations) quand les dimensions du cylindre tendent vers
l’infini, et nous essaierons d’expliquer le rôle de la sous-additivité et de
la concentration de la mesure dans leur preuves.