Grandes déviations pour les matrices de Wigner

vendredi 9 novembre 2012, 11h00 - 12h00

Salle de réunion, espace Turing

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Considérons une matrice de Wigner : une matrice aléatoire Hermitienne
X de taille n dont les entrées au dessus de la diagonale sont
indépendantes et de m »me loi de variance finie. Depuis les travaux de
E. Wigner dans les années 50, nous savons que la mesure empirique des
valeurs propres de X/(sqrt n) converge vers la loi semi-circulaire.

En 1997, Ben Arous et Guionnet ont établi un principe de grande
déviations autour de la loi semi-circulaire dans le cas d’entrées
Gaussiennes. La fonction de taux associée est l’entropie de
Voiculescu. Leur preuve était basée sur la connaissance explicite de
la loi des valeurs propres de la matrice. Les grandes déviations pour
les matrices de Wigner en sont resté là. Le cas d’entrées Bernoulli
reste par exemple complètement ouvert.

Lorsque les entrées sont de type Weibull mais pas sous-gaussiennes
(par example une loi exponentielle), nous verrons qu’il est par contre
possible de démontrer un principe de grande déviations en utilisant
des idées issues des graphes aléatoires. C’est un travail en
collaboration avec Pietro Caputo (Univ. Roma Tre). Nous finirons
l’exposé sur des perspectives reliées.