Equations Mean-Reverting généralisées et applications
vendredi 16 novembre 2012, 14h30 - 15h15
Salle de réunion, espace Turing
Considérons une équation mean-reverting, généralisée au sens où elle est dirigée par un processus Gaussien uni-dimensionnel à trajectoires höldériennes sur $[0,T]$ ($T > 0$).
Qu’elle soit prise au sens des trajectoires rugueuses, comme nous nous y employons, ou au sens d’Itô pour un signal brownien, cette équation est un cas pathologique d’équation différentielle stochastique, car son champ de vecteurs n’est en général pas lipschitzien sur les intervalles de $\mathbb R$ contenant $0$. Ainsi, a priori, seule l »existence et l’unicité locales semblent garanties.
L’équation est d’abord étudiée sous l’angle déterministe : existence et unicité de la solution à $\omega\in\Omega$ fixé, majoration de la solution en norme uniforme sur $[0,T]$, continuité et monotonie de l’application d’Itô, et construction d’une suite uniformément convergente d’approximations sur $[0,T]$ de la solution (avec vitesse de convergence).
Puis, l’équation est étudiée sous l’angle probabiliste : propriétés en loi héritées de celle du signal, intégrabilité de la solution et des approximations associées (comme variables aléatoires), principe de grandes déviations etc.
Finalement, on étudie un modèle pharmacocinétique basé sur une équation mean-reverting généralisée particulière, dont on sait expliciter la solution. Nous proposons une application de ce dernier en psycho-pharmacologie.
