Transport optimal stochastique dans un espace de Banach pour l’estimation régularisée de quantiles multivariés d’une mesure de probabilité

vendredi 17 mars 2023, 11h00 - 12h00

Salle du conseil, espace Turing

Dans cet exposé, il est proposé de s’intéresser à de récentes contributions en statistique sur la définition d’une notion de quantiles multivariés (pour des vecteurs aléatoires) qui étend la notion usuelle de quantile pour des mesures de probabilité à support sur la droite réelle. Cette approche est basée sur des outils issus de la théorie du transport optimal qui est un domaine de recherche actuellement en plein essor avec de nombreuses applications en science des données et apprentissage automatique. Dans ce cadre, nous introduisons un nouvel algorithme stochastique pour résoudre le transport optimal entropique entre deux mesures de probabilité absolument continues. Notre travail est motivé par le cadre spécifique des quantiles de Monge-Kantorovich où la mesure source est soit la distribution uniforme sur l’hypercube, soit la distribution uniforme sphérique. En utilisant la connaissance de la mesure source, nous proposons de paramétrer un potentiel dual de Kantorovich par ses coefficients de Fourier. De cette façon, chaque itération de notre algorithme stochastique se réduit à deux transformées de Fourier qui nous permettent d’utiliser la transformée de Fourier rapide afin de mettre en œuvre une méthode numérique efficace pour résoudre le transport optimal entropique. Nous étudions la convergence presque sûre de notre algorithme stochastique qui prend ses valeurs dans un espace de Banach de dimension infinie. Puis, à l’aide d’expériences numériques, nous illustrons les performances de notre approche sur le calcul des quantiles de Monge-Kantorovich régularisés. En particulier, nous étudions les avantages potentiels de la régularisation entropique pour l’estimation lisse des quantiles multivariés à l’aide de données échantillonnées à partir de la mesure cible.