Sandro Franceschi (Université Paris Sud)

Mouvement Brownien réfléchi dans un cône: étude du cas transient. Probabilités de fuite, probabilité d’absorption, fonctions de Green et frontière de Martin.

vendredi 19 mars 2021, 9h30 - 10h30

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Un des problèmes le plus classique dans la littérature consacré au mouvement brownien réfléchi dans un cône bidimensionnel est l’étude de sa distribution stationnaire dans le cas récurrent. Dans cet exposé, nous nous intéresserons en revanche au cas transient. Nous étudierons ainsi les fonctions de Green de ce processus et leur asymptotique. Cela nous mènera naturellement à considérer la frontière de Martin du processus. Elle permet de déterminer les fonctions harmoniques satisfaisant des conditions de Neumann obliques sur les bords. Nous illustrerons cela pour certains modèles, en étudiant la probabilité de fuite du processus le long d’un axe ou encore sa probabilité d’absorption à l’origine.

 

Pour établir nos résultats, nous utilisons des méthodes analytiques historiquement développées pour étudier les marches dans le quadrant en probabilités et en combinatoire. Nous déterminons des équations fonctionnelles à noyau satisfaites par les transformées de Laplace des fonctions de Green et des probabilités de fuite ou d’absorption. La théorie des problèmes frontière (de Riemann et de Carleman) permet de déterminer des formules explicites pour ces transformées impliquant des fonctions hypergéométriques. La méthode du point col et des lemmes de transfert permettent quant à eux de calculer l’asymptotique et d’établir la frontière de Martin.