Cette thèse se scinde en deux grandes parties. Dans la première partie, on présentera un théorème de Pitman inverse pour un brownien espace-temps conditionné au sens de Doob à rester dans une chambre de Weyl affine. Notre théorème fournit un moyen de récupérer un mouvement brownien espace-temps non conditionné à partir d’un mouvement brownien conditionné en appliquant une suite de transformations. Cette partie fera référence au théorème démontré dans: « A converse to Pitman’s theorem for a space-time Brownian motion in a type A_1^1 Weyl chamber » (hal-03840191.v3) issu d’un travail en collaboration avec Manon Defosseux. Dans la deuxième partie, on étudiera une marche aléatoire à accroissements i.i.d. dans le sous-groupe des matrices triangulaires inférieures de $SL_2$. On montrera que le processus dans le coin inférieur de la marche aléatoire satisfait un critère de Rogers–Pitman pour être markovien si et seulement si les accroissements sont distribués selon une loi inverse gaussienne généralisée (GIG) sur les diagonales. Pour établir ce résultat, on démontrera une nouvelle caractérisation de ces lois. On montrera également une identité de Dufresne à temps discret. Enfin, on montrera comment retrouver le théorème de Matsumoto–Yor en considérant la limite continue de la marche aléatoire. Ce dernier travail fera référence à l’article « A discrete-time Matsumoto–Yor theorem » (hal-04683351.v2).