Cet exposé propose le survol de quelques techniques de géométrie aléatoire et de géométrie convexe en vue de l’étude de données multivariées dans l’espace euclidien. Après avoir introduit la notion de processus ponctuel, nous nous focalisons sur les points extrémaux d’un nuage de points aléatoires et sur la notion de profondeur des données. En particulier, nous présentons la technique de “convex hull peeling” mettant notamment en jeu une fonction limite qui est solution de viscosité d’une certaine EDP non linéaire. Concrètement, elle permet de répartir les points sur des couches successives, dans des proportions dont nous montrons qu’elles satisfont certains théorèmes limites pour des lois uniformes dans la boule unité ou dans un polytope simple. Dans le cas de la boule, nous adoptons ensuite un autre point de vue en étudiant la forme du nuage via sa fonction de support, lorsque la dimension tend vers l’infini. Nous exhibons un régime surprenant dans lequel l’enveloppe du nuage et la boule ont un rapport de volumes négligeable mais ont asymptotiquement même fonction de support pour un ensemble fini de directions. Enfin, nous revenons au cas de la dimension fixée lorsque le nuage se trouve dans un corps convexe à bord lisse et nous étudions les lois extrêmes de ses fluctuations radiales et longitudinales. Les exposants critiques qui apparaissent dans la normalisation permettent d’établir une analogie avec certains modèles classiques de croissance d’interfaces aléatoires.

Les résultats présentés sont issus de travaux en collaboration avec Benjamin Dadoun, Gauthier Quilan et Joe Yukich.