Le Γ-calcul est une approche probabiliste à la théorie du calcul différentiel. Étant donnée une diffusion markovienne, on considère
(*) son générateur infinitésimal L, qui joue le rôle du Laplacien,
(*) puis, par intégration par partie, son carré du champ Γ, une forme bilinéaire, qui joue le rôle du carré de la norme du gradient.

Deux résultats illustrent l’intérêt de cette théorie:
1) L’intégrabilité de 1/Γ(F,F) contrôle l’existence d’une densité pour F et les normes C^q de cette densité.
2) Si L^(-1) existe, la proximité de Γ(L^(-1)F,F) à une constante contrôle la proximité de F à une Gaussienne.

Si ces résultats abstraits se sont montrés particulièrement fructueux dans le cas des espaces Gaussiens (preuve du théorème d’Hörmander par calcul de Malliavin, approche Malliavin-Stein, densité des chaos Gaussiens multiplicatifs, etc.), ainsi que pour quelques autres modèles indépendants, ils ont été assez peu utilisés pour les modèles dépendants.

Dans cet exposé, j’illustrerai comment le Γ-calcul associé au générateur du mouvement browien de Dyson permet d’étudier finement les β-ensembles qui sont des modèles de particules avec interaction logarithmique sur la droite réel.
Nous obtenons les résultats suivants:
A) Fluctuations gaussiennes des statistiques linéaires à vitesse 1/n en variation totale.
B) Contrôle des normes des densités des statistiques linéaires.

Basé sur des travaux en cours avec Jürgen Angst, Guillaume Poly (Rennes) et Dominique Malicet (Gustave Eiffel).