Zoé Agathe-Nerine
Processus de Hawkes sur des graphes aléatoires en neurosciences : limite en grande population et stabilité en temps long
Dans cette thèse, nous nous concentrons sur un modèle de population de neurones, où l’activité neuronale de la population est représentée par un processus de Hawkes multivarié. L’activité de chaque neurone est décrite par un processus de comptage, où chaque saut du processus représente l’émission d’un potentiel d’action (également appelé spike) par le neurone. Une étiquette est attribuée à chaque neurone, liée à sa fonction ou à sa localisation spatiale. La connectivité entre les neurones est donnée par un graphe aléatoire éventuellement dilué et inhomogène, où la probabilité de présence de chaque arête dépend des étiquettes de ses sommets. Le taux d’excitation de chaque neurone dépend du passé des neurones connectés : il augmente en cas d’excitation par d’autres neurones, ou diminue en cas d’inhibition.
La motivation principale est d’étudier le comportement du système dynamique lorsque la taille de la population tend vers l’infini, lorsque le graphe d’interaction est fixé. Une question importante est de comprendre comment l’inhomogénéité spatiale (dans l’interaction) influence le comportement en temps long du système. Une autre question consiste à relier le modèle microscopique à la Neural Field Equation (NFE), qui modélise une dynamique neuronale à grande échelle avec des interactions non locales.
