Une des reformulations apparemment innocente de la terrifiante hypothèse de Riemann (HR) est le critère de Nyman-Beurling (1950) : l’indicatrice de [0,1] peut être approchée linéairement dans L^2 par des dilatations de la fonction partie fractionnaire. Considérer ces dilatations comme aléatoires génère de nouvelles structures et de nouveaux critères pour HR. On peut en particulier obtenir des polynômes dans les approximations. Nous aborderons des aspects concrets de ces problèmes d’approximation : produit scalaire, distance L^2, espace à poids.

On présentera brièvement la fonction Zeta et son histoire mythique. L’exposé sera très accessible, notamment pour les doctorants. Aucune connaissance sur Zeta n’est nécessaire pour suivre l’exposé.