La méthode de Monte Carlo estime une intégrale en utilisant des évaluations de l’intégrande en certains points appelés nœuds, qui peuvent être choisis comme les points d’un processus ponctuel. Alors que la méthode Monte Carlo brute repose sur le processus ponctuel de Poisson homogène (PPP), certains processus de points plus régulièrement répartis produisent des méthodes avec une décroissance plus rapide de la variance.

Nous étudions deux familles de processus ponctuels réguliers qui sont des candidats potentiels pour accélérer la convergence de la méthode Monte Carlo brute.
La première famille est celle des processus ponctuels hyperuniformes (HUPPs). Un HUPP est caractérisé par la variance du nombre de points dans une grande fenêtre qui évolue plus lentement que le volume de cette fenêtre. En particulier, un HUPP fournit un estimateur Monte Carlo des volumes avec une décroissance de la variance plus rapide que la méthode Monte Carlo brute. Malheureusement, prouver qu’un processus ponctuel est hyperuniforme est généralement difficile. Dans le but de fournir des outils statistiques pour identifier les HUPPs, nous examinons une mesure spectrale appelée la fonction de structure, dont la décroissance autour de zéro permet de diagnostiquer l’hyperuniformité. Nous étudions la dérivation des estimateurs existants de la fonction de structure et contribuons un test statistique asymptotiquement valide de l’hyperuniformité. De plus, nous fournissons une librairie Python contenant tous les estimateurs et outils que nous discutons.
La deuxième famille de processus ponctuels que nous étudions est constituée des processus ponctuels repoussés, que nous avons construits en utilisant un opérateur de répulsion. L’opérateur de répulsion réduit le regroupement dans une configuration de points en repoussant légèrement les points les uns des autres. Notre principal résultat théorique est que l’application de l’opérateur de répulsion à un PPP fournit une méthode de Monte Carlo non biaisée avec une variance inférieure qu’avec un PPP. De plus, nos simulations numériques mettent en lumière la capacité de l’opérateur de réduire la variance, même lorsqu’il est appliqué à des processus ponctuels plus réguliers que le PPP. Cela suggère que l’application de l’opérateur de répulsion aux nœuds de n’importe quelle méthode de Monte Carlo peut réduire sa variance et ainsi améliorer la précision statistique de la méthode.