Organisateurs : Max Fathi (LPSM), Ellen Saada (MAP5)

Programme de la journée:

14h00: Leo Daures (LPSM)
Un principe de grandes déviations pour les chaînes de Markov réductibles.

résumé:
Dans cet exposé, je vais présenter une partie du travail que j’ai effectué pendant mes deux premières années de thèse. Quand une chaîne de Markov vérifie de bonnes hypothèses d’irréductibilité, il est standard d’utiliser une méthode dite “sous-additive” pour obtenir un principe des grandes déviations (LDP) pour sa mesure empirique. L’opération de base de cette méthode est de concaténer des morceaux de trajectoires réalisant un évènement donné pour en obtenir une nouvelle, plus longue, réalisant le même évènement. Après quelques manipulations, cela permet d’obtenir un LDP faible pour la mesure empirique. Considérons maintenant une chaîne de Markov sur un espace d’état discret, sans aucune hypothèse de récurrence ou d’irréductibilité. Il peut alors être impossible de concaténer certains morceaux de trajectoires. Je présenterai une façon d’adapter la méthode sous-additive dans ce cas, et conclurai sur l’obtention d’un LDP faible sans aucune hypothèse sur la chaîne de Markov.

14h30: Ons Rameh (LPSM)
Temps de mélange du processus Zero Range asymétrique sur un segment

résumé:
Dans cet exposé, nous étudierons le temps de mélange du processus Zero Range asymétrique (AZRP) sur un segment avec des taux de saut croissants. Dans un premier temps, nous analyserons la limite hydrodynamique en partant de la configuration la moins favorable, où toutes les particules sont situées à l’extrémité gauche du segment. Le temps d’équilibre macroscopique fournit alors une borne inférieure du temps de mélange. Dans un second temps, nous démontrerons l’optimalité de cette estimation lorsque le système est suffisamment asymétrique, ce qui établit le phénomène de cut-off.

15h00: pause-cafe

15h30: Charlie Hérent (MAP5)
Un théorème de Matsumoto–Yor à temps discret dans $SL_2$.

Résumé:
On étudiera une marche aléatoire à accroissements i.i.d. dans le sous-groupe des matrices triangulaires inférieures de $SL_2$. On montrera que le processus dans le coin inférieur de la marche aléatoire satisfait un critère de Rogers–Pitman pour être markovien si et seulement si les accroissements sont distribués selon une loi inverse gaussienne généralisée (GIG) sur les diagonales. Pour établir ce résultat, on démontrera une nouvelle caractérisation de ces lois. On montrera également une identité de Dufresne à temps discret. Enfin, on montrera comment retrouver le théorème de Matsumoto–Yor en considérant la limite continue de la marche aléatoire.

16h00: Léna Kuwata (MAP5)
Modélisation de la croissance d’un champignon filamenteux.

résumé:
À partir d’un panorama de mycélium de champignon filamenteux obtenu à la fin d’une expérience de croissance, on souhaite inférer certains paramètres de croissance du champignon afin de quantifier l’impact de différentes formes de stress sur la structure du mycélium.
On modélise la croissance du mycélium par un processus de branchement non-spatial dans lequel les filaments sont représentés par leur longueur et croissent à vitesse constante. Le branchement peut avoir lieu au niveau de l’extrémité d’un filament à taux constant, ou le long d’un filament à un taux proportionnel à sa longueur. On arrive à obtenir une expression explicite du comportement en temps long du processus permettant ainsi d’inférer les taux de branchement à partir des données expérimentales.