Dans cette présentation on s’intéresse à la simulation numérique de matériaux granulaires secs et immergés, composés de collections de grains macroscopiques non browniens et rigides. Bien que ces systèmes interviennent dans de nombreux cas d’intérêt (érosion côtière, envasement, éboulements, stockage de céréales, pâtes industrielles…), leurs comportements sont complexes et encore mal compris. Le développement de schémas numériques efficaces, prenant en compte les phénomènes physiques microscopiques (à l’échelle du grain, des contacts) sont nécessaires à une meilleure compréhension de leur évolution macroscopique.

Dans ce contexte, les contacts entre grains mènent à des interactions singulières pour lesquelles des schémas numériques adaptés doivent être développés. On décrira le cadre de modèles de type « Dynamique des contacts » développés par J.J. Moreau, faisant appel à l’analyse convexe non lisse. Dans ce cadre, les modèles de friction entre grains mènent naturellement à des problèmes complexes d’optimisation non convexe.

On montrera comment des algorithmes basés, à chaque instant, sur des problèmes d’optimisation convexe permettent d’obtenir des simulations numériques de grands nombres de particules en temps long. Dans ces schémas, les forces de contact s’obtiennent de manière implicite, comme multiplicateurs de Lagrange associés aux contraintes. Le principe fondamental de la dynamique est alors obtenu (dans une version discrétisée) à partir des équations d’Euler (d’optimalité) du problème de minimisation.

Nous illustrerons ces méthodes par des simulations numériques, montrant que les schémas obtenus peuvent être utilisés pour étudier comportement macroscopique de matériaux granulaires.