Dans cet exposé, on étudie les propriétés géométriques des points critiques d’un champ gaussien régulier limité à un domaine borné du plan ou de la sphère.
Dans la première partie, on traite les propriétés de répulsion locale du processus stationnaire formé par les points critiques d’un champ gaussien isotrope stationnaire régulier. A l’aide de la formule de Kac-Rice, nous calculons le facteur de répulsion local qui est la limite du rapport entre le moment factoriel d’ordre deux et le carré de l’espérance, quand le rayon de la boule tend vers 0. Nous montrons que selon la fonction de covariance du champ gaussien, le processus des points critiques forme un processus ponctuel faiblement localement répulsif ou faiblement localement attractif. En particulier, dans le cas où le champ gaussien est le « Berry’s Planar Random Wave », la répulsion est la plus forte possible. Nous montrons également que le sous-processus formé par les points extrémaux est fortement répulsif ainsi que le sous-processus formé par les points-selles.
En deuxième partie, on étudie le comportement asymptotique dans la limite de haut degré du nombre de points critiques d’un champ gaussien sphérique, appelé harmonique sphérique aléatoire, dans une calotte sphérique dont le rayon tend vers 0 suffisamment lentement. On présente une conjecture que le nombre de points critiques vérifie un Théorème Central Limite, ainsi qu’une heuristique de preuve, basé sur l’hypothèse que le nombre de points critiques est dominé par un seul terme dans la décomposition en chaos de Wiener, qui est la projection chaotique d’ordre quatre.